グルーのパラドックス、ヘンペルのカラス、サンクトペテルブルクのパラドックス、モンティホール問題(三囚人問題)等を解明
目次
パラドックスとは、理論的な結果が、感覚的な結果と合わず、受け入れがたい問題をいう。後者は、人間が脳で考えた結果である。そこで、脳がその問題について、どう思考したのかを解析することで、理論的結果と感覚的結果の差異の真相を解明する。
「グルー」という色は「2049年までは緑、2050年からは青」を表すとする。ある鉱石の色を2049年以前に何度も観察して、グルー色であるという確証を得た。実際は緑色だったとして、2050年以降にグルー（青色）であると、帰納的に推論できてしまうのはおかしい？
帰納的推論をして良い場合と、してはいけない場合があり、人間はどうやってかうまく判断している。
グルーの定義という前提条件のもとでは、2050年以降もグルー(青)であるという帰納的推論は正しく、帰納的推論をしてはいけないなんてことはない。
この問題は次の例と同値である。ボタンAとボタンBとランプCが付いた機械があるとする。ここで、
仮説：（ボタンAを押す） or （ボタンBを押す）→(ランプCが点灯)
という仮説を立てたとする。ボタンAを5000兆回押したら、毎回ランプCが点灯した。5000兆回も上の仮説が正しいという証拠があるので、この仮説はほぼ正しいといえるだろうか？ボタンBを一度も押してないのに、ボタンBでランプCが点灯すると主張できるのはおかしいと感じるだろう。しかし、仮説を立てる時点で、ボタンAとボタンBを区別しないという前提条件にしているため、その前提のもとでは仮説が正しいという推論は正しい。ボタンAとボタンBが区別されるべきだと思うなら、始めから次のように二つの仮説に分けて、それぞれを検証するべきである。
仮説①：（ボタンAを押す）→(ランプCが点灯)
仮説②：（ボタンBを押す）→(ランプCが点灯)
グルーの例では、
仮説：（2049年以前なら緑色） or （2050年以降なら青色）= （ある鉱石の色）
と仮説を立てている。2049年以前と2050年以降で区別しないという前提条件の仮説を立てているのだから、2049年までグルー(緑)だという観測から2050年以降もグルー(青)と推測するのは正しい。おかしいと思うなら次のように仮説を立てるべきである。
仮説①：（2049年以前なら緑色）= （ある鉱石の色）
仮説②：（2050年以降なら青色）= （ある鉱石の色）
仮説の立て方によって結論が変わるが、どう仮説を立てるべきなのだろうか？
仮説：（ボタンAを親指で押す） or （ボタンAを小指で押す）→(ランプCが点灯)
という仮説を立てることができるが、それとも次のようにするべきだろうか？
仮説①：（ボタンAを親指で押す）→(ランプCが点灯)
仮説②：（ボタンAを小指で押す）→(ランプCが点灯)
ボタンAを親指で5000兆回押して、毎回ランプCが点灯したなら、ボタンAを小指で押すのが初めてでも、ランプCが点灯すると推測するのが普通だろう。仮に押す指が同じだとしても、押す時刻によって区別するべきだというように、どこまでも厳しく区別すれば、すべての場合は別であり、仮説の証拠とならなくなる。逆に区別を甘くすれば、どんな場合でも仮説の証拠になる。このように、どこまで区別して、どこまで区別しないかは、自由に決められるため、都合の良い結果になるように、前提・仮定を決めることができてしまう。RUSAGIでは、その点をうまく解決している。
「カラスは黒い」という仮説を考える。対偶である「黒くない物はカラスではない」が真なら、この仮説は正しいといえる。そのため、室内の「黒くない物」を調べて「カラスではない」と確認していけば、カラスを一羽も見ずに、「カラスは黒い」ということができてしまう？
全ての黒くない物を調べることが不可能なら、必ず正しいという証明にはならないが、調べる数が増えるほど、確証が高まるとはいえる。
室内の「黒くない物」を全て（または無限に）調べて、「カラスではない」と確認したとしても、「カラスは黒い」という確証は得られない。
まず、対偶論法が成り立つ仕組みだが、もし「白いカラス」が存在するなら、「黒くない物」を調べていけば、カラスが現れるはずである。ゆえに、全て調べてカラスが現れなかったら、「カラスは黒い」といえる。しかし、室内にカラスが1羽も居ないことを知っていたのなら、室内の「黒くない物」は「カラスではない黒くない物」であるため、もし「白いカラス」が存在するとしても観測できないため、「カラスは黒い」とはいえない。
では、室内に限定せず、カラスがどのくらいの頻度で存在するのか知らない状況で、「黒くない物」を観察していった場合を考えよう。この場合は、観察したものがカラスではないほど、対偶論法により「カラスは黒い」という確証が高まると、一見考えられる。しかし、同時に、今まで調べた場所には、カラスは居ないのでは？という確証も高まってしまう。つまり、先ほどの室内と同じ状況である確証が高まり、対偶論法が成り立つ前提が揺らぐ。対偶論法により「カラスが黒い」という確証が高まる一方で、前提が成り立っていない確証が高まり、「カラスが黒い」という確証が低まる。結局、いくら沢山観察しても、どちらともいえない。
対偶論法は成り立つのは、観察対象の中でのカラスの出現頻度が既知の場合のみである。出現頻度が既知なら、ベイズ推定等によって、統計的に「カラスが黒い」確率を推定できる。あるいは、「黒くない物」だけを調べるのではなく、「黒い物」も同時に調べてくのであれば、カラスの出現頻度を推定できるため、統計的推定が可能になる。
コインを投げて続けてオモテが1回目で出れば1円、2回目で初めて出れば2円、n回目で初めて出れば2^(n-1)円貰えるゲームがあるとする。1回100円でプレイできるとして、ほとんど人はやらない方が得だと感じるだろう。しかし、数学的には期待値は∞円なので、いくら払ってもプレイした方が得である。
効用という考え方で、5000兆円もらっても使いきれないので、5000億円と同じくらいの価値（効用）しかないと考える。効用の期待値は∞にはならないため、いくら払っても得とは感じない。人間は、効用を計算して、損得の判断をしている。
大半の人間は、効用を計算して損得の判断をしているとは言い難い。「何円以上なら、使いきれないので同じくらいの価値ですか？」と質問しても、はっきり答えられる人は少ないだろう。
考える時間にかなりの余裕がない限り、実際には次のような計算を行うと思う。1/2の確率で1円、1/4の確率で2円、1/8の確率で4円、1/16の確率で8円。ここまでの15/16の事象で1～8円が貰え、その期待値は1と8の中間よりは小さく2～3円程度だろう。1/16の事象では32円以上貰えるが、その頻度は1/16しかないので、全事象でも期待値は5～6円程度だろう。正確に計算したわけではないが、100円よりは十分に小さいと推測できる。このゲームの期待値が∞であると聞かされた時、多くの人は予想外だと感じるだろう。1/16部分の期待値が∞だとは推定していなかった証拠である。事象の数は無限個あるが、その大半の15/16で起こる部分について計算した時点で、残りの1/16で起こる事象についても大差ないだろうと帰納的に推測して、計算を打ち切っているのである。期待値が∞であると気づいていなければ、効用も正確に計算できてはいない。
はじめに、A,B,Cのどれかがランダムで正解だと伝えられ、回答者がAを選んだとして、選ばなかった2つのうち、Cは不正解だと伝えられた。このとき、数学的にはAよりも、Bの方が正解の確率が高いが、AとBは同じ確率だと思う人がかなり居る。
問題が正しく解釈されていれば、数学的に、Bの確率が高いのは間違いない。
Bの確率が高いのは間違いないが、なぜ同じだとい誤った推論に至る人が居るのかは、次のように説明できる。(1)「A,B,C 3つの選択肢の内どれか1が正解」。(2)「すべての選択肢は同様に確からしい」。この時点では、3つとも1/3であると推測する。Aを選択後、(3)「Cの確率は0」。であると情報が与えられる。(1)(2)(3)から、A,Bともに1/2であると推測される。しかし、(2)は正しい情報として与えられたものではなく、情報がないからそう判断しただけであり、実際は(3)の情報が与えられた時点で、(2)は成り立たない。(3)が与えられた瞬間、まずは、ABに絞り込むが、その段階では、ABどちらの確率が高いかの知識がないため、ABは同様に確からしいと思う。ここまでの思考は、直感的に行える。この段階でどちらの選択肢を選ぶか迫られたら、思考はタイムアップし、ABともに1/2であると判断してしまう。数学的に正しい答えを出すには、そこからさらに、意識的に非直感的な計算を行わなければならない。しかし、1/2で計算をやめてしまう人もいる。それは、(1)(2)の時点での推測値を真の値として確信しているからである。新たな情報が与えられて前提条件が変化したときには、それまでに考えたことを捨てて、考えなおさなければ正しい推論ができない例である。
「リンダは31才、独身、率直な性格で、とても聡明である。大学では哲学を専攻した。学生時代には、差別や社会正義といった問題に深く関心を持ち、反核デモにも参加した。」。どちらの可能性がより高いか？1.「リンダは銀行窓口係である。」、2「リンダは銀行窓口係で、フェミニスト運動に参加している。」。可能性が高いのは前者だが、後者と回答する人の方が多い。
描写に具体性があると、代表性ヒューリスティックの効果によって、蓋然性が高いような錯覚を覚える。
「可能性が高い(高確率)」と「より優れた推測」では意味が違うが、「より優れた推測」しているのはどちらかと問題を誤解してしまうことによる。職業だけよりもﾌｪﾐﾆｽﾄ運動についてまで予測をできている方が優れた予測といえるだろう。逆に「分からない」という選択肢があった場合、間違っていないので100%正解だが、何も予測していないので情報量(ｴﾝﾄﾛﾋﾟｰ)は0だ。合接によって予測を絞り込んでいくほど情報量は増える。より情報量の多い予測の方が、より優れた予測と感じる。
砂山から砂を1粒取り除いても砂山だが、これを繰り返してと砂が1粒になっても、砂山といえるだろうか。禿頭に、毛を1本加えても禿頭だが、繰り返してﾌｻﾌｻになっても禿頭といえるだろうか。
砂が何粒以上なら砂山か決めていないのが問題。
「僅から差なら同等」という前提条件のもと、砂粒を1つ減らしても砂山といっている。僅かな差でも繰り返せば大きな差となる。大きな差となり「僅かな差」という前提条件が崩れてしまっているのに気が付かないため、おかしいと感じる。
4枚のカードがあり、それぞれ片面にはアルファベットが、もう片面には数字が書かれている。A,K,4,7が見えている状態である。このとき、「片面が母音ならば、そのカードのもう一方の面は偶数」というルールが成立しているかどうかを調べたい。「A」「7」が正解だが。「A」「4」とする回答が多い。
確証バイアスにより、肯定的なものを重視、否定的なものを軽視(無視)した結果である。「4」をめくる意味はない。また、「お酒を飲んでいるならば、20歳以上」というような、一般的な例では正答率が上がる。
肯定意見を重視し、否定意見を軽視した結果ではなく、命題を重視し、対偶を軽視した結果である。いわゆる確証バイアスではない。もし問いが「母音なら、偶数（すなわち、奇数なら子音）」と対偶が明示されていれば、大多数は、一枚目に母音の「A」、2枚目に奇数の「7」を確認するだろう。「お酒を飲んでいれば、20歳以上」という例では、「20歳未満なら、お酒を飲んでいない」という対偶を日常的に理解しているため、明示しなくても正答率が上がる。脳の推論は、直感的なものと思考的なものに大別されるが、文章で与えられた問いは思考するだろう。思考においては、命題が与えられても、自動的に対偶も使って推論する仕組みは、脳にはない推察できる。
また、論理的（演繹的）推論では、「4」をめくる意味はないが、帰納的推論では意味がある。帰納的推論の例として、「〇〇は美味しい」という仮説を調べたい場合を考える。まずは、「〇〇 美味しい」でネット検索をするが、真っ先に「〇〇 不味い」で検索する人は少数だろう。後者を省略する場合は確証バイアスである。不味いという意見が1件でもあれば、美味しいという仮説が否定されるのが演繹的推論である。帰納的推論では、美味しいという意見の数と、不味いという意見の数から推測する。美味しいという意見の数が多いほど、確証は増すが、不味いという意見の数を無視したら確証バイアスとなる。カードの例では、4枚に限って、仮説が成り立つかを検証するなら、4枚の内、必要なものは全てめくって調べれば、演繹的に正否が分かる。しかし、カードがこの4枚しかなく、この4枚について成り立つかと、明示的には聞いていない。4枚は沢山のカードの山（母集団）から抽出された標本と解釈できる。問いが、4枚の標本についてではなく、母集団について成り立つかを聞いていると解釈する人もいるだろう。日常的には、演繹的推論よりも帰納的推論をする方が多く、1つの否定的な意見で、多数の肯定的意見を覆すことは稀だろう。帰納的推論の場合、肯定的な標本の数と、否定的な標本の数によって、仮説の正しさを推論する。そのため、「A」に加えて「4」もめくることで、肯定的な標本が1つから2つに増えるため、帰納的推論の確証が増す。これは、肯定寄りにバイアスが働いているのではなく、帰納的推論の合理的な過程である。
2つの封筒の内、片方にはもう片方の倍の金額が入っている。交換した方が得か。交換すれば、50%または200%になるので、期待値は125%になるので交換した方が特に思える。しかし、相手にも同じことが言え、実際には両者とも期待値が増えてしまいおかしい。
より厳密な計算を行うことで、交換前後で期待値は増えないと示される。125%に増えるのは、計算する上での前提条件等に不備があったための誤りだと解釈。
期待値が125%になるのは誤りではない。半々の確率で50%と200%になるのは真実であり、125%に増えるのに何ら誤りはない。ただし、金額の絶対値では、交換前後で期待値は変わらないのもまた真実である。倍率で期待値が100%を超えるとしても、絶対値で期待値が増えるとは限らないのである。仮に、1万円または2万円が入っているとすると、200%になる場合の基準の金額は1万円であり、50%になる場合の基準の金額は2万円である。基準の金額が異なるため、倍率では増えても、絶対値では増えないということが起こりえるのである。倍率で期待値が増えれば、絶対値でも期待値が増えるためには、倍率の基準の金額が同じである必要がある。特をすると思えたのは、50%または200%になるときの基準の金額が同じだと仮定してしまったため、倍率で期待値が増えれば、絶対値でも増えると錯覚してしまったためである。
日曜日に眠り姫が眠らせた後、1回ｺｲﾝﾄｽする。月曜日に姫を起こして、表か裏か質問する。姫には試験の内容は伝えられているが、今が何曜日かは知らせない。次に、姫の記憶を消去して再度眠らせる。先のｺｲﾝﾄｽが裏だった場合のみ、火曜日にも姫を起こして、表か裏か質問する。姫は表だった確率がいくつと答えるべきだろうか。
1/2とする説では、ベイズ確率の考え方で、事前確率は1/2のため、月曜の時点では1/2。記憶が消されるため、ベイズ改訂はされず、火曜日も同じく1/2となる。したがって、何曜日かによらず、1/2である。1/3とする説では、「月表」「月裏」「火裏」の3つの事象のうち、表は1/3のため、1/3である。
コインが表の確率は1/2だが、質問された時点では1/3が正解。ｺｲﾝﾄｽを行う前の表の事前確率を1/2とすることは間違っていない。しかし、火曜日までの事象は「月表」「月裏」「火表」「火裏」のうち、「火表」は存在しない。つまり、問題文から「火表」は存在しないよという情報を受けとった時点で、考えられる可能性は狭まり、いわゆる条件付き確率となる。ある一つの可能性が無いと伝えられて確率が変わるモンティ・ホール問題と同じ状況である。眠り姫問題とモンティ・ホール問題の最大の違いは、モンティ・ホール問題は、途中で、ある可能性（司会者が開ける戸）を否定されるのに対して、眠り姫問題では、初めから、ある可能性「火表」を否定されていることである。ベイズ改訂という方法で確率を求める場合は、無差別の原理による事前確率(1/2)からｽﾀｰﾄし、コインの表裏を観測するごとに、確率を改訂していく。眠り姫の記憶が消されるのでｺｲﾝﾄｽ試行で確率が改訂されないのは正しい。しかし、ｺｲﾝﾄｽを以前に、問題文という情報を入手したし時点で、「火表」の可能性が無くなり、1/2ではなくなっているのである。典型的なベイズ確率の計算をしようとしたために、試行前に確率が変わってしまうことを見落としてしまった結果、1/2であると誤った予測をしてしまうのである。別の分かり易い例を出すと、1億人に1人、宝くじが当たるとして、当選者1人と落選者1人の計2人が呼び出されるものとする。貴方が呼び出されたととき、当選している確率はいくらだろうか。当選確率は1億分の1だが、呼び出された時点では1/2ある。呼び出される確率自体は1億分の2だが、呼び出されたとした場合の当選の条件付き確率は1/2である。それは、実際に呼び出される前に分かる。眠り姫の場合は、呼び出すのではなく起こしているだけであり、どういう場合に起こすかを聞かされた時点で、起こされるまえに既に分かる。
30人のクラス内で、誕生日が同じペアがいる確率は50%より大きいだろうか。計算すると約70%である、直感よりも高く感じる。
自分と誕生日が同じ人が居るか(1/365)という問題と錯覚するからではないか。
30人から抜き出した特定の2人の誕生日が一致する確率は1/365であるのは、問題を聞いた瞬間に直感的に認識するだろう。ただ、2人を選び出す組み合わせは30×29=870通りある。870通り内、1/365で一致しているものがあるかといえば、50%以上だと認識するだろう。思ったより確率が高いと感じるのは、人間の脳には直感的に掛け算を求める仕組みがないからである。視覚的に30個の赤い点と、29個の青い点を見た場合、直感的に合計で59個点があると認識できるが、870個の点を想像できる人はいない。九九等を駆使して頭のなかで計算する必要があり、計算が終わる前に正解を伝えられた場合、直感的に理解している1/365と比較するしかなく、高いと感じてしまう。
レバーを操作して、トロッコの進路を切り替えなければ5人が確実に死亡し、切り替えれば1人が確実に死亡する。
1人を殺すべきという意見は、できるだけ被害者を減らそうという合理的な判断である。5人を見殺しにするべきというのは、レバーを操作しなければ、責任は問われないという判断である。
現実的には5人を殺すのが正解。実際には「100%確実に死ぬ」とは証明できないからである。実際には100%はありえないから、両方助かる方法を探るべきだという理想論を語る人がいるのがその証拠だ。能動的に1人を殺した場合、救われた5人にとって、貴方は命の恩人のはずだが、現実は違う。5人は、「自分ならうまく避けられたかもしれないのに、どうしてレバーを操作して人殺をしたんだ？」と、人殺し呼ばわりされることになる。法的には緊急避難で罪はないとしても、5人の気持ちとしては、貴方は、同僚の命を奪った殺人犯である。法で裁けないのなら、5人は、自らの手の敵討ちをして、貴方を殺そうとするだろう。したがって、レバーを操作し、1人を殺すと、貴方は残った5人に殺されてしまうため、良い選択ではない。逆に、5人を殺した場合でも、残った一人は、貴方を殺そうとするだろう。しかしながら、5人に命を狙われるより、1人に命を狙われる方が生存確率が高い。先制攻撃で1人を殺しても、残りの4人に取り囲まれてしまうからである。また、5人を殺した事実を残った一人が知るまでは、命を狙われることはない。結論として、5人を殺す選択をした後、その事実が知れ渡る前に、残りの一人を殺しにいくことだけが、貴方が生き残ることができる唯一の方法である。どちらの選択をしても人を殺してしまう場合は、避けようがなく悪意が無いので、本来は法的には無罪になるはずだが、法を超えて責任を追及されてしまう。感情的な悪意による報復を避けるには、証拠になるものを消し去るしかない。6人を殺すという社会的に損失の大きい選択をすることで、貴方個人は生き残り、損失を抑えることができる。社会の損得と個人の損得はイコールではないため、社会の損得で行動してはいけないという例である。
